Appendici

[FORMULA]

DS = √( Σ(xᵢ − x̄)² / (n − 1) )

Dove:

• xᵢ — il valore di ciascuna osservazione (per esempio, il numero di parole ricordate dalla persona i-esima)

• x̄ — la media del gruppo

• n — il numero di osservazioni nel gruppo

• Σ — il simbolo di sommatoria: somma il termine che segue per tutte le osservazioni, da 1 a n

Cosa significa in parole semplici: per ogni persona, si calcola quanto il suo punteggio si discosta dalla media del gruppo (xᵢ − x̄); si eleva al quadrato questo scarto (per eliminare i segni negativi ed evitare che gli scarti positivi e negativi si annullino a vicenda nella somma); si sommano tutti gli scarti al quadrato; si divide per il numero di osservazioni meno uno; infine si estrae la radice quadrata per tornare all'unità di misura originale (parole, non "parole al quadrato").

Esempio di calcolo: in un gruppo di 4 persone che ricordano rispettivamente 16, 18, 20, 22 parole, la media è 19. Gli scarti sono −3, −1, 1, 3; al quadrato: 9, 1, 1, 9; la somma è 20; divisa per (4−1)=3 dà 6,67; la radice quadrata è circa 2,58. La deviazione standard di questo gruppo è quindi di circa 2,58 parole.

[FORMULA]

r = Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / √[Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²]

Dove:

• xᵢ, yᵢ — i valori delle due variabili per ciascuna persona (per esempio, ore di sonno e parole ricordate)

• x̄, ȳ — le medie rispettivamente della variabile x e della variabile y

• Σ — sommatoria su tutte le persone del campione

Cosa significa in parole semplici: il numeratore diventa grande e positivo quando le persone che stanno sopra la media in una variabile stanno anche sopra la media nell'altra (e viceversa per chi sta sotto); il denominatore serve solo a "normalizzare" il risultato, così che r cada sempre tra −1 e +1, indipendentemente dall'unità di misura delle variabili originali. Un r vicino a +1 indica che le due variabili crescono insieme in modo quasi perfettamente lineare; un r vicino a −1 indica che quando una cresce l'altra tende a calare; un r vicino a 0 indica assenza di relazione lineare.

Esempio di calcolo: cinque persone dormono 5, 6, 7, 8 e 9 ore e ricordano rispettivamente 14, 18, 16, 22 e 20 parole. Le medie sono 7 ore e 18 parole. Gli scarti dalla media sono −2, −1, 0, +1, +2 per il sonno e −4, 0, −2, +4, +2 per le parole; i loro prodotti sono 8, 0, 0, 4, 4, con somma 16. La somma dei quadrati degli scarti è 10 per il sonno e 40 per le parole. Quindi r = 16 / √(10 · 40) = 16 / 20 = 0,80 — una relazione positiva forte, ma non perfetta.

[FORMULA]

d = (x̄₁ − x̄₂) / DS_comune

Dove:

• x̄₁, x̄₂ — le medie dei due gruppi a confronto (per esempio, gruppo caffeina e gruppo placebo)

• DS_comune — una media ponderata delle deviazioni standard dei due gruppi, che riassume la variabilità interna di entrambi

Cosa significa in parole semplici: d esprime la differenza tra le due medie non in unità originali (parole), ma in unità di deviazione standard — cioè, quante "tacche" di dispersione tipica separano le due medie. Per convenzione approssimativa, un d intorno a 0,2 è considerato un effetto piccolo, intorno a 0,5 medio, intorno a 0,8 o oltre grande — ma questi valori di riferimento vanno sempre letti nel contesto specifico del fenomeno studiato, non come soglie assolute.

Esempio di calcolo: se il gruppo caffeina ricorda in media 20 parole e il gruppo placebo 18, con una deviazione standard comune di 4 parole, allora d = (20 − 18) / 4 = 0,5 — un effetto di dimensione media.

[FORMULA]

Il modello dell'errore di predizione nel condizionamento (Rescorla-Wagner).

ΔV = α · β · (λ − V)

Dove:

• ΔV è il cambiamento, in una singola prova, della forza dell'associazione tra lo stimolo condizionato e la conseguenza;

• α (alfa) è la salienza dello stimolo condizionato — quanto è notevole, un valore tra 0 e 1;

• β (beta) è un parametro legato alla forza della conseguenza (dello stimolo incondizionato), anch'esso tra 0 e 1;

• λ (lambda) è la forza massima di associazione che quella conseguenza può sostenere;

• V è la forza associativa già posseduta dallo stimolo (e da eventuali altri stimoli presenti insieme a esso) prima di questa prova.

Il termine (λ − V) è l'errore di predizione: la distanza tra quanto ci si aspettava (V) e quanto la situazione permetterebbe di aspettarsi al massimo (λ). Quando V si avvicina a λ, l'errore si riduce e l'apprendimento rallenta fino a fermarsi — è esattamente la ragione per cui, nell'esperimento del blocco descritto sopra, lo stimolo B non impara nulla: l'errore di predizione è già vicino a zero prima ancora che B compaia, perché A prediceva già tutto.

Esempio di calcolo. Poniamo α = 0,5 (uno stimolo moderatamente saliente), β = 0,6 (una conseguenza di forza intermedia), λ = 100 (la forza massima possibile di associazione per questa conseguenza) e V = 40 (l'associazione già acquisita nelle prove precedenti). Allora: ΔV = 0,5 × 0,6 × (100 − 40) = 0,3 × 60 = 18. La forza associativa aumenta di 18 punti in questa prova, portando V a 58 per la prova successiva — un incremento che si farà via via più piccolo man mano che V si avvicina a 100, disegnando la tipica curva di acquisizione che rallenta, senza mai fermarsi bruscamente.

[FORMULA]

L'equazione di Nernst permette di calcolare il potenziale di equilibrio di un singolo ione a partire dalle sue concentrazioni dentro e fuori la cellula:

E_ione = (RT / zF) · ln([ione]fuori / [ione]dentro)

Dove:

• E_ione è il potenziale di equilibrio dello ione, espresso in volt (o millivolt).

• R è la costante universale dei gas (8,314 J/(mol·K)) — quanta energia termica è disponibile per mole di sostanza a una data temperatura.

• T è la temperatura assoluta in kelvin (per un organismo a 37 °C, T = 310 K).

• z è la valenza dello ione (la sua carica elettrica: +1 per K⁺ e Na⁺, +2 per Ca²⁺, −1 per Cl⁻).

• F è la costante di Faraday (96 485 coulomb/mol) — la carica elettrica trasportata da una mole di cariche elementari.

• ln è il logaritmo naturale.

• [ione]fuori e [ione]dentro sono le concentrazioni dello ione all'esterno e all'interno della cellula.

A temperatura corporea, il termine RT/F, convertito in millivolt e con il logaritmo naturale riscritto come logaritmo in base 10 (moltiplicando per 2,303), si semplifica in una costante pratica di circa 61,5 mV per uno ione monovalente (z = 1). La formula diventa quindi, per un uso rapido:

E_ione ≈ (61,5 mV / z) · log₁₀([ione]fuori / [ione]dentro)

Esempio di calcolo — il potenziale di equilibrio del potassio. Un valore tipico per un neurone di mammifero è [K⁺]dentro ≈ 140 millimolare (mM) e [K⁺]fuori ≈ 5 mM, con z = +1 (il potassio ha carica singola positiva). Sostituendo:

E_K = 61,5 mV · log₁₀(5 / 140) = 61,5 mV · log₁₀(0,0357) = 61,5 mV · (−1,447) ≈ −89 mV

Questo numero — vicino ai valori di potenziale di riposo effettivamente misurati nei neuroni reali, tipicamente tra −65 e −70 mV — mostra perché il potenziale di riposo è dominato dal potassio: se i canali di dispersione per il K⁺ fossero gli unici canali aperti a riposo, la cellula si stabilizzerebbe quasi esattamente su questo valore. Il fatto che il potenziale di riposo reale (circa −70 mV) sia leggermente meno negativo di −89 mV indica che anche una piccola quantità di Na⁺ filtra continuamente dentro la cellula, spostando il bilancio verso valori un poco più positivi — coerente con il fatto che il potenziale di equilibrio del Na⁺, calcolato con le sue concentrazioni tipiche ([Na⁺]fuori ≈ 145 mM, [Na⁺]dentro ≈ 15 mM), risulta positivo: E_Na = 61,5 mV · log₁₀(145/15) ≈ +61 mV — molto lontano dal potenziale di riposo, e proprio per questo capace di produrre un cambiamento drammatico quando i canali per il Na⁺ si aprono in massa, come nel prossimo paragrafo.

[FORMULA]

Un modo diretto — anche se semplificato rispetto ai metodi statistici più moderni — per stimare l'ereditabilità da uno studio su gemelli è la formula di Falconer:

h² = 2 · (r_MZ − r_DZ)

Dove:

• h² è la stima dell'ereditabilità in senso stretto (la proporzione di varianza del tratto, nella popolazione studiata, statisticamente associata a fattori genetici additivi).

• r_MZ è il coefficiente di correlazione (nel senso già definito nel capitolo 4) tra i punteggi dei due gemelli, calcolato su coppie di gemelli monozigoti.

• r_DZ è lo stesso coefficiente di correlazione, calcolato su coppie di gemelli dizigoti dello stesso sesso.

Esempio di calcolo. Supponi che, per un tratto psicologico misurato con un test standardizzato, la correlazione tra punteggi dei gemelli monozigoti risulti r_MZ = 0,70, e quella tra gemelli dizigoti r_DZ = 0,40. Applicando la formula:

h² = 2 · (0,70 − 0,40) = 2 · 0,30 = 0,60

Il risultato si interpreta così: circa il 60% della varianza osservata per quel tratto, in quella popolazione, è statisticamente associato a differenze genetiche additive tra le persone; il restante 40% è associato a fattori ambientali (condivisi e non condivisi tra i due gemelli) e a errore di misura. Il ragionamento intuitivo dietro la formula è che, se un tratto fosse determinato interamente dai geni, i monozigoti (100% di DNA condiviso) dovrebbero essere quasi identici (r_MZ vicino a 1) mentre i dizigoti dovrebbero somigliarsi solo quanto due fratelli qualunque; più grande è il divario tra le due correlazioni, più quel divario — attribuibile solo alla maggiore somiglianza genetica dei monozigoti, dato che entrambi i tipi di gemelli condividono tipicamente lo stesso ambiente familiare — è spiegato dai geni.

[FORMULA]

La legge di Weber (Weber's law) formalizza questa proporzionalità:

ΔI / I = k

Dove:

• ΔI è la differenza appena percepibile, cioè il più piccolo incremento di intensità rilevabile.

• I è l'intensità dello stimolo di riferimento.

• k è la frazione di Weber (Weber fraction), una costante specifica per ciascuna modalità sensoriale (non un valore universale): circa 0,02 per la discriminazione di pesi, circa 0,08 per la luminosità, circa 0,05 per l'intensità sonora.

Esempio di calcolo. Con k = 0,02 (discriminazione di pesi) e un peso di riferimento I = 200 g, la differenza appena percepibile è:

ΔI = k · I = 0,02 · 200 g = 4 g

Occorrono quindi almeno 4 grammi di differenza per notare che un secondo peso è più pesante del primo. Ma con un peso di riferimento dieci volte più grande, I = 2000 g, la stessa costante k = 0,02 richiede:

ΔI = 0,02 · 2000 g = 40 g

Non 4 grammi come nel caso precedente: la differenza necessaria è cresciuta in proporzione alla base, non è rimasta fissa. È esattamente questo il fenomeno che la legge descrive.

[FORMULA]

La legge di Fechner (Fechner's law):

S = k · ln(I / I₀)

Dove:

• S è l'intensità soggettiva della sensazione.

• I è l'intensità fisica dello stimolo.

• I₀ è l'intensità della soglia assoluta, il punto in cui la sensazione comincia a esistere.

• k è una costante specifica della modalità sensoriale.

• ln è il logaritmo naturale.

La conseguenza pratica è che la sensazione cresce più lentamente dell'intensità fisica: raddoppiare la luminosità di una lampada non raddoppia la luminosità percepita, perché il rapporto è logaritmico, non lineare.

Esempio di calcolo. Poniamo k = 1 e I₀ = 1 (unità arbitrarie, scelte solo per isolare l'andamento della funzione). A un'intensità fisica I = 10 (dieci volte la soglia) corrisponde una sensazione:

S = 1 · ln(10 / 1) = ln(10) ≈ 2,30

Portando l'intensità fisica a I = 100 — dieci volte più intensa di prima, cento volte la soglia — la sensazione diventa:

S = 1 · ln(100 / 1) = ln(100) ≈ 4,61

Un aumento di dieci volte dell'intensità fisica (da 10 a 100) ha prodotto un aumento della sensazione esattamente del doppio (da 2,30 a 4,61, perché ln 100 = 2 · ln 10), non di dieci volte: è esattamente questo lo scarto tra crescita fisica ed effetto soggettivo che la formula descrive. Un aumento che è enorme in termini fisici assoluti (da una lampadina a un faro) produce un aumento della sensazione molto più modesto di quanto l'aumento fisico farebbe pensare — una delle ragioni per cui scale come i decibel per il suono o i diaframmi per l'esposizione fotografica sono esse stesse logaritmiche: sono costruite per corrispondere a come il sistema percettivo effettivamente risponde, non a come l'energia fisica si distribuisce.

[FORMULA]

Una descrizione approssimata, ma utile, della curva dell'oblio è un decadimento esponenziale:

R(t) = e^(−t / S)

Dove:

• R(t) è la proporzione di materiale trattenuto (misurata, per esempio, tramite il risparmio) al tempo t dall'apprendimento originale.

• t è il tempo trascorso dall'apprendimento, in una qualunque unità coerente (qui: giorni).

• S è la forza della traccia mnestica, un parametro che rappresenta quanto stabilmente l'informazione è stata codificata: più S è grande, più lento è il decadimento.

• e è la base dei logaritmi naturali (≈2,718).

Esempio di calcolo. Con una traccia di forza S = 1 giorno (un apprendimento debole, come una lista letta una sola volta), dopo t = 1 giorno la proporzione trattenuta è:

R(1) = e^(−1/1) = e^(−1) ≈ 0,37

Poco più di un terzo resta dopo un solo giorno. Dopo t = 3 giorni, con la stessa forza della traccia:

R(3) = e^(−3/1) = e^(−3) ≈ 0,05

Circa il 5% resta dopo tre giorni: il grosso della perdita è avvenuto già nelle prime ventiquattr'ore, un pattern che il modello coglie bene nel primo giorno. Il modello esponenziale descrive tuttavia bene solo la caduta iniziale: nei dati reali la coda è più lenta, e una funzione di potenza si adatta meglio sul lungo periodo. Un apprendimento più robusto (per esempio ottenuto ripetendo il materiale più volte, o distribuendo le ripetizioni nel tempo) corrisponde a un valore di S più alto, che allunga la coda della curva senza cambiarne la forma generale.

[FORMULA]

La funzione di valore della teoria del prospetto ha una forma approssimabile, per i guadagni e per le perdite separatamente, come:

v(x) = x^α per x ≥ 0 (guadagni)

v(x) = −λ · (−x)^β per x < 0 (perdite)

Dove:

• x è l'entità del guadagno o della perdita rispetto al punto di riferimento.

• v(x) è il valore soggettivo attribuito a quel guadagno o perdita.

• α e β sono esponenti minori di 1 (stime tipiche intorno a 0,88), che rendono la funzione concava per i guadagni e convessa per le perdite: la differenza soggettiva tra guadagnare 100 e 200 euro è percepita come maggiore della differenza tra guadagnare 1100 e 1200 euro, e lo stesso vale, specularmente, per le perdite.

• λ è il coefficiente di avversione alla perdita (loss aversion), stimato tipicamente intorno a 2 (con valori tra 1,5 e 2,5 a seconda degli studi): una perdita ha un impatto soggettivo negativo di entità maggiore del piacere soggettivo di un guadagno di pari entità assoluta.

Esempio di calcolo. Con α = β = 0,88 e λ = 2,25, un guadagno di 100 euro produce un valore soggettivo v(100) = 100^0,88 ≈ 57,5. Una perdita di 100 euro produce un valore soggettivo v(−100) = −2,25 · 100^0,88 ≈ −129,5. In valore assoluto, la perdita (129,5) pesa più del doppio del guadagno di pari entità (57,5): questo è esattamente il motivo per cui la maggior parte delle persone rifiuta una scommessa a doppio o niente alla pari (50% di vincere 100 euro, 50% di perderne 100), nonostante il valore atteso in termini monetari sia zero — in termini di valore soggettivo secondo questo modello, il valore atteso della scommessa è negativo: 0,5 · 57,5 + 0,5 · (−129,5) ≈ −36,0 (in forma semplificata, con probabilità non distorte; la teoria completa usa pesi decisionali che modificano di poco il risultato, senza cambiare la conclusione).

[FORMULA]

Il teorema di Bayes permette di calcolare la probabilità corretta:

P(M|+) = [P(+|M) · P(M)] / [P(+|M) · P(M) + P(+|¬M) · P(¬M)]

Dove:

• P(M|+) è la probabilità di essere malati, dato un risultato positivo al test (ciò che vogliamo calcolare).

• P(+|M) è la sensibilità del test, la probabilità di un risultato positivo dato che si è malati (0,90).

• P(M) è la frequenza di base della malattia nella popolazione (0,01).

• P(+|¬M) è il tasso di falsi positivi, la probabilità di un risultato positivo dato che non si è malati (1 − specificità = 0,09).

• P(¬M) è la probabilità di non essere malati (1 − 0,01 = 0,99).

Esempio di calcolo. Su una popolazione ipotetica di 10.000 persone: 100 sono malate (1%), di cui il test ne rileva correttamente 90 (sensibilità 90%). Delle 9.900 persone sane, il 9% (891 persone) risulta comunque positivo per errore (falsi positivi). Il totale dei positivi al test è quindi 90 + 891 = 981. Di questi 981 positivi, solo 90 sono effettivamente malati:

P(M|+) = 90 / 981 ≈ 0,092

La probabilità reale di essere malati dato un test positivo è di circa il 9%, non il 90% che l'intuizione suggerisce — quasi dieci volte meno. La ragione è che, essendo la malattia rara, il numero assoluto di falsi positivi generati da una popolazione sana molto più grande supera ampiamente il numero di veri positivi generati dalla piccola popolazione malata, anche con un test abbastanza accurato. Ignorare la frequenza di base della malattia (l'1% di partenza) porta a una sovrastima drastica della probabilità reale.

[FORMULA]

Una versione più generale di questo principio, sviluppata nell'apprendimento per rinforzo computazionale, estende l'errore di predizione a catene di eventi distanziate nel tempo, non solo a un singolo abbinamento stimolo-conseguenza:

δ_t = r_t + γ · V(s_{t+1}) − V(s_t)

Dove:

• δ_t è l'errore di predizione al tempo t (il segnale che, nel cervello, corrisponde all'attività fasica dei neuroni dopaminergici).

• r_t è la ricompensa effettivamente ricevuta al tempo t.

• V(s_t) è il valore stimato dello stato in cui ci si trova al tempo t, cioè quanta ricompensa futura ci si aspetta a partire da quello stato.

• V(s_{t+1}) è il valore stimato dello stato successivo.

• γ (gamma) è un fattore di sconto tra 0 e 1 che riduce il peso delle ricompense future rispetto a quelle immediate.

Esempio di calcolo. Si consideri una scimmia che sta imparando che una luce (stato s_t, valore stimato V(s_t)=0,2) precede in modo affidabile una ricompensa di succo di frutta (r_t=1) senza ulteriori stati intermedi rilevanti (V(s_{t+1})=0), con γ=0,9. Al momento della ricompensa: δ_t = 1 + 0,9·0 − 0,2 = 0,8. Il segnale positivo, elevato rispetto a una ricompensa di 1, riflette che la ricompensa è stata molto superiore a quanto il valore stimato dello stato prevedesse: l'animale ha ancora molto da imparare. Con l'apprendimento ripetuto, V(s_t) si avvicina progressivamente a 1 e δ_t si avvicina a zero: la ricompensa diventa pienamente prevista, e — come mostrato dalle registrazioni dei neuroni dopaminergici del capitolo 15 — il segnale dopaminergico alla ricompensa stessa scompare, spostandosi invece sullo stimolo predittivo (la luce) nel momento in cui compare per primo.

[FORMULA]

Per ciascun bambino si calcola la proporzione di sguardo verso lo stimolo A:

P = T_A / (T_A + T_B)

Dove:

• P è la proporzione di sguardo verso lo stimolo A, un numero tra 0 e 1;

• T_A è il tempo totale (in secondi) in cui il bambino ha guardato lo stimolo A;

• T_B è il tempo totale (in secondi) in cui ha guardato lo stimolo B.

Se il bambino non distingue i due stimoli e non ha preferenze, ci si aspetta P = 0,5. Per sapere se il gruppo di bambini preferisce A, si confronta la media delle P individuali con 0,5 con un test t a un campione: t = (P̄ − 0,5) / (s / √n), dove P̄ è la media delle proporzioni, s la loro deviazione standard e n il numero di bambini.

Esempio di calcolo. Un bambino guarda A per 14 secondi e B per 6: P = 14/(14 + 6) = 0,70. Con n = 16 bambini, una media P̄ = 0,62 e una deviazione standard s = 0,15, l'errore standard è 0,15/√16 = 0,0375 e t = (0,62 − 0,5)/0,0375 = 3,2. Con 15 gradi di libertà questo valore corrisponde a una probabilità di circa 0,006 che una media così lontana da 0,5 emerga per caso se i bambini guardassero indifferentemente i due stimoli. Si ricordi, come visto nel capitolo 4, che il valore p dice quanto sarebbe sorprendente il dato se non esistesse alcuna preferenza, non quanto sia grande o importante la preferenza stessa.

[FORMULA]

La probabilità di transizione tra due sillabe A e B misura quanto B tende a seguire A:

P(B|A) = frequenza(AB) / frequenza(A)

Dove:

• P(B|A) è la probabilità che, dopo la sillaba A, venga la sillaba B;

• frequenza(AB) è il numero di volte in cui, nel flusso, A è immediatamente seguita da B;

• frequenza(A) è il numero totale di occorrenze di A.

Esempio di calcolo. Nel flusso dell'esperimento, la sillaba «bi» compare 45 volte, e in tutte e 45 è seguita da «da» (parte della stessa parola): P(da|bi) = 45/45 = 1,0. La sillaba «ku», ultima di una parola, compare 45 volte ed è seguita 15 volte da «pa» (inizio di un'altra parola), 15 da un'altra sillaba iniziale e 15 da una terza: P(pa|ku) = 15/45 ≈ 0,33. Una caduta di probabilità da 1,0 a 0,33 segnala un confine di parola: è il tipo di indizio che i bambini sembrano usare.

[FORMULA]

Nel modello più semplice, a un solo fattore, la correlazione tra due domande i e j è il prodotto dei loro pesi fattoriali (factor loadings):

r_ij = λ_i · λ_j

Dove:

• r_ij è la correlazione osservata tra la domanda i e la domanda j;

• λ_i (lambda) è il peso fattoriale della domanda i: la correlazione tra la domanda i e il fattore non osservato;

• λ_j è il peso fattoriale della domanda j, definito allo stesso modo;

• λ_i² è la quota di variabilità della domanda i che il fattore comune spiega; il resto è specifico di quella domanda, o è errore di misura.

Esempio di calcolo. Supponi che i pesi delle tre domande sull'esempio sopra siano λ₁ = 0,8, λ₂ = 0,7 e λ₃ = 0,6. Il modello prevede le correlazioni: r₁₂ = 0,8 · 0,7 = 0,56; r₁₃ = 0,8 · 0,6 = 0,48; r₂₃ = 0,7 · 0,6 = 0,42. La quota di variabilità spiegata dal fattore è λ² = 0,64, 0,49 e 0,36 per le tre domande. Il procedimento reale va in direzione opposta: si osservano le tre correlazioni e si ricavano i pesi. Con tre domande basta un passaggio: λ₁² = (r₁₂ · r₁₃) / r₂₃ = (0,56 · 0,48) / 0,42 = 0,64, da cui λ₁ = 0,8. Con centinaia di aggettivi il calcolo è lo stesso nello spirito, ma richiede un computer.

[FORMULA]

La correzione per attenuazione (correction for attenuation) stima la correlazione che si osserverebbe tra i due punteggi se fossero privi di errore di misura:

r_vera = r_osservata / √(r_xx · r_yy)

Dove:

• r_osservata è la correlazione effettivamente misurata tra la prima e la seconda misura;

• r_xx è l'attendibilità della prima misura (per esempio il suo test-retest a breve distanza);

• r_yy è l'attendibilità della seconda misura;

• √ indica la radice quadrata del prodotto delle due attendibilità.

Esempio di calcolo. Una scala di coscienziosità è somministrata a vent'anni e di nuovo a trenta, e la correlazione è 0,60. L'attendibilità della scala, misurata a breve distanza, è 0,80 in entrambe le occasioni. Allora: r_vera = 0,60 / √(0,80 · 0,80) = 0,60 / 0,80 = 0,75. Una parte della «instabilità» osservata (da 1,0 a 0,60) è dunque errore di misura; il resto, da 1,0 a 0,75, è cambiamento effettivo, o effetto di altre fonti di differenza tra le due occasioni.

[FORMULA]

La formula di Spearman-Brown stima l'attendibilità di una misura ottenuta come media di k osservazioni, a partire dall'attendibilità di una singola osservazione:

ρ_k = k · ρ / (1 + (k − 1) · ρ)

Dove:

• ρ_k (rho) è l'attendibilità della media di k osservazioni;

• ρ è l'attendibilità di una singola osservazione, cioè la correlazione attesa tra due osservazioni dello stesso tipo;

• k è il numero di osservazioni mediate (giorni, situazioni o domande).

Esempio di calcolo. Supponi che la correlazione tra il comportamento in un giorno e quello in un altro giorno sia 0,20, valore plausibile per un singolo comportamento. Con k = 10 giorni: ρ₁₀ = 10 · 0,20 / (1 + 9 · 0,20) = 2,0 / 2,8 ≈ 0,71. Con k = 20 giorni: ρ₂₀ = 20 · 0,20 / (1 + 19 · 0,20) = 4,0 / 4,8 ≈ 0,83. Lo stesso tratto, che a un giorno predice poco, a una media di venti giorni è misurato in modo molto più attendibile. Il guadagno si attenua man mano che k cresce.

[FORMULA]

Il punteggio di QI standardizzato si ottiene in due passaggi. Prima il punteggio grezzo viene trasformato in un punteggio z, che indica a quante deviazioni standard dalla media si trova la persona:

z = (x − μ) / σ

Poi lo si porta sulla scala convenzionale del QI:

QI = 100 + 15 · z

Dove:

• x è il punteggio grezzo della persona (per esempio il numero di risposte corrette);

• μ (mi) è la media dei punteggi grezzi nel campione di riferimento;

• σ (sigma) è la deviazione standard dei punteggi grezzi nello stesso campione;

• z è il punteggio standardizzato: 0 se x coincide con la media, positivo se è sopra, negativo se è sotto;

• 100 e 15 sono la media e la deviazione standard scelte per convenzione per la scala del QI.

Esempio di calcolo. In un campione di riferimento la media è 50 risposte corrette e la deviazione standard è 8. Una persona risponde correttamente a 62 domande: z = (62 − 50) / 8 = 1,5; QI = 100 + 15 · 1,5 = 122,5, cioè circa 123. Se la distribuzione è a campana, un punteggio con z = 1,5 supera circa il 93% del campione di riferimento.

[FORMULA]

L'alfa standardizzato stima l'attendibilità di una scala a partire dal numero di domande e dalla loro correlazione media:

α = k · r̄ / (1 + (k − 1) · r̄)

Dove:

• α (alfa) è l'indice di coerenza interna, tra 0 e 1;

• k è il numero di domande della scala;

• r̄ (erre con la barra) è la correlazione media tra le coppie di domande della scala.

Esempio di calcolo. Una scala di sei domande, in cui la correlazione media tra due domande è 0,30: α = 6 · 0,30 / (1 + 5 · 0,30) = 1,8 / 2,5 = 0,72. Con dodici domande della stessa qualità: α = 12 · 0,30 / (1 + 11 · 0,30) = 3,6 / 4,3 ≈ 0,84. La formula è la stessa di Spearman-Brown del capitolo 63: mediare più domande è come mediare più occasioni.

[FORMULA]

L'effetto di una condizione sulla probabilità di aiutare si può esprimere con il rapporto tra odds (odds ratio), che confronta le probabilità in due gruppi tenendo conto di quanto sono lontane dagli estremi:

OR = [p₁ / (1 − p₁)] / [p₂ / (1 − p₂)]

Dove:

• p₁ è la proporzione di persone che aiutano nella condizione di confronto (nessuna fretta);

• p₂ è la proporzione di persone che aiutano nell'altra condizione (forte fretta);

• p / (1 − p) è l'odds: il rapporto tra la probabilità di aiutare e quella di non aiutare;

• OR vale 1 se le due condizioni non differiscono, ed è tanto maggiore di 1 quanto più la prima condizione favorisce l'aiuto.

Esempio di calcolo. Con p₁ = 0,63 e p₂ = 0,10: odds nella condizione senza fretta = 0,63 / 0,37 ≈ 1,70; odds nella condizione di fretta = 0,10 / 0,90 ≈ 0,11. Il rapporto è OR ≈ 1,70 / 0,11 ≈ 15. Per chi non ha fretta, le probabilità relative di aiutare invece di non aiutare sono circa quindici volte più alte. Un effetto così grande in un campione piccolo va letto con la cautela del capitolo 5: gli effetti stimati su pochi partecipanti tendono a ridursi nelle repliche.

[FORMULA]

Se ogni persona avesse la stessa probabilità p di adeguarsi in ogni prova, e le prove fossero indipendenti, la probabilità di adeguarsi almeno una volta in n prove critiche sarebbe:

P(almeno una volta) = 1 − (1 − p)ⁿ

Dove:

• p è la probabilità di adeguarsi in una singola prova critica;

• 1 − p è la probabilità di rispondere in modo indipendente in quella prova;

• n è il numero di prove critiche;

• (1 − p)ⁿ è la probabilità di non adeguarsi mai in nessuna delle n prove, se le prove sono indipendenti.

Esempio di calcolo. Con p = 0,36 e n = 12: (1 − 0,36)¹² = 0,64¹² ≈ 0,005, quindi P(almeno una volta) ≈ 1 − 0,005 = 0,995, cioè circa il 99,5%. Il valore osservato da Asch è invece il 74%. La differenza non è un errore dello studio: dice che le persone non sono tutte uguali. Se alcune non si adeguano mai e altre si adeguano quasi sempre, la probabilità media di un terzo non descrive nessuno in particolare, e l'ipotesi che ognuno abbia lo stesso p cade.

[FORMULA]

Un'obbedienza del 65% su 40 persone è una stima, e va accompagnata dalla sua incertezza. L'errore standard di una proporzione misura quanto la proporzione osservata può variare per puro effetto del campione:

ES = √[ p̂ · (1 − p̂) / n ]

Da cui un intervallo di confidenza al 95% approssimato (come nel capitolo 4): p̂ ± 1,96 · ES

Dove:

• p̂ (p con cappello) è la proporzione osservata nel campione;

• n è il numero di partecipanti;

• ES è l'errore standard;

• 1,96 è il valore che lascia fuori il 5% dei casi, metà per lato, in una distribuzione a campana.

Esempio di calcolo. Con p̂ = 26/40 = 0,65 e n = 40: ES = √(0,65 · 0,35 / 40) = √0,00569 ≈ 0,075. L'intervallo è 0,65 ± 1,96 · 0,075 = 0,65 ± 0,15, cioè da circa 0,50 a 0,80. L'obbedienza in quella condizione, nella popolazione da cui i 40 provengono, è plausibilmente compresa tra il 50% e l'80%. Per la variante con l'ufficio commerciale (19 su 40, il 47,5%) l'intervallo è circa 0,32-0,63: i due intervalli si sovrappongono molto, e questo spiega perché la differenza di 17,5 punti non risulti significativa (un confronto diretto tra le due proporzioni dà lo stesso esito: z ≈ 1,6, p ≈ 0,11).

[FORMULA]

Festinger propose, come modello concettuale e non come misura diretta, che la grandezza della dissonanza dipenda dal rapporto tra le cognizioni dissonanti e il totale, ciascuna pesata per la sua importanza:

D = Σ (importanza delle dissonanti) / [Σ (importanza delle dissonanti) + Σ (importanza delle consonanti)]

Dove:

• D è la grandezza della dissonanza, tra 0 (nessuna) e 1 (massima);

• Σ indica la somma sulle cognizioni di quel tipo;

• le dissonanti sono le cognizioni che contraddicono il comportamento o la convinzione in esame; le consonanti sono quelle che lo sostengono.

Esempio di calcolo (con valori illustrativi, assegnati dall'autore per mostrare la logica). Una persona ha detto una bugia: la cognizione dissonante («ho mentito») ha importanza 4. Nella condizione A c'è una cognizione consonante, «mi hanno pagato un dollaro», con importanza 1: D = 4 / (4 + 1) = 0,80. Nella condizione B la cognizione consonante è «mi hanno pagato venti dollari», con importanza 5: D = 4 / (4 + 5) ≈ 0,44. A parità di bugia, un compenso alto riduce la dissonanza, e un compenso basso la lascia alta. La formula non è mai stata una misura pratica: le «importanze» non si misurano con unità comuni, ed è per questo che la teoria è stata messa alla prova con esperimenti e non con questa equazione.

[FORMULA]

Quando si confrontano due gruppi con un esito dicotomico (vota / non vota), la differenza tra le proporzioni ha un errore standard:

ES = √[ p₁(1 − p₁)/n₁ + p₂(1 − p₂)/n₂ ]

Dove:

• p₁ e p₂ sono le proporzioni nei due gruppi (per esempio, la percentuale che vota nel gruppo con il messaggio e in quello senza);

• n₁ e n₂ sono le numerosità dei due gruppi;

• ES è la misura di quanto la differenza osservata può variare per puro effetto del campione. Il rapporto z = (p₁ − p₂) / ES indica a quanti errori standard la differenza si trova da zero; oltre circa 2 si parla di differenza statisticamente significativa.

Esempio di calcolo (con valori illustrativi). Con n₁ = n₂ = 600.000, p₁ = 0,604 e p₂ = 0,600: ES = √[0,604 · 0,396/600.000 + 0,600 · 0,400/600.000] = √(3,99 · 10⁻⁷ + 4,00 · 10⁻⁷) ≈ 0,00089. La differenza è 0,004 (quattro decimi di punto percentuale) e z = 0,004 / 0,00089 ≈ 4,5: significativa, anche se la differenza è minuscola. Con gruppi di 600 persone invece di 600.000, ES sarebbe circa 32 volte più grande (√1000; circa 0,028) e la stessa differenza darebbe z ≈ 0,14: non significativa. Con campioni enormi, anche effetti piccolissimi risultano statisticamente significativi; quanto contino in pratica è un'altra domanda, e riguarda la dimensione dell'effetto.

[FORMULA]

Le dimensioni degli effetti si riportano a volte come correlazione r, a volte come differenza standardizzata d (capitolo 4). Per confrontare studi che usano misure diverse si converte l'una nell'altra:

d = 2r / √(1 − r²)

Dove:

• r è la correlazione tra contatto e pregiudizio (negativa se più contatto significa meno pregiudizio);

• r² è il quadrato della correlazione, la quota di variabilità condivisa;

• d è la differenza tra gruppi espressa in deviazioni standard, nel senso del capitolo 4.

Esempio di calcolo. Con r = −0,20 (ordine di grandezza citato per la meta-analisi sul contatto): d = 2 · (−0,20) / √(1 − 0,04) = −0,40 / 0,98 ≈ −0,41. In altre parole, chi ha più contatto ha, in media, un pregiudizio più basso di circa quattro decimi di deviazione standard: un effetto piccolo o moderato nelle categorie convenzionali del capitolo 4. Con r² = 0,04, il contatto condivide il 4% della variabilità del pregiudizio.

[FORMULA]

Che ogni singolo individuo agisca meno quando ci sono più testimoni non vuol dire che l'emergenza resti più spesso senza aiuto. Se ogni testimone agisse in modo indipendente con probabilità p, la probabilità che almeno uno agisca tra n testimoni sarebbe:

P(almeno uno) = 1 − (1 − p)ⁿ

Dove:

• p è la probabilità che un singolo testimone agisca;

• 1 − p è la probabilità che non agisca;

• n è il numero di testimoni;

• (1 − p)ⁿ è la probabilità che nessuno agisca, se le decisioni sono indipendenti.

Esempio di calcolo. Un testimone da solo agisce con p = 0,85: P = 0,85. Con cinque testimoni, ciascuno con p = 0,31 (il valore dell'esperimento con più presenti): P = 1 − 0,69⁵ = 1 − 0,156 ≈ 0,84. Se le decisioni fossero indipendenti, la probabilità che almeno uno aiuti sarebbe quasi la stessa di quella di un testimone solo (0,84 contro 0,85), anche se ciascuno agisce molto meno. Ma l'indipendenza è proprio ciò che l'esperimento mette in dubbio: nei processi di diffusione e di ignoranza pluralistica ognuno aspetta gli altri, e le decisioni sono collegate, per cui la probabilità reale che almeno uno agisca può essere inferiore al valore calcolato.

[FORMULA]

κ = (p₀ − pₑ) / (1 − pₑ)

Dove:

• κ (kappa) è l'indice di accordo, che vale 1 con accordo perfetto, 0 con un accordo pari a quello atteso per caso e valori negativi con un accordo inferiore al caso;

• p₀ è la proporzione osservata di casi in cui i due valutatori danno la stessa risposta;

• pₑ è la proporzione di accordo atteso per caso: la somma dei prodotti delle frequenze con cui ciascun valutatore ha dato quella risposta (la probabilità che entrambi dicano «sì» per caso, più la probabilità che entrambi dicano «no»);

• 1 − pₑ è l'accordo massimo possibile oltre il caso.

Esempio di calcolo. Su 100 persone, i due clinici dicono entrambi «sì» in 40 casi, entrambi «no» in 35, e discordano nei restanti 25 (il primo dice sì e il secondo no in 10, il contrario in 15). L'accordo osservato è p₀ = (40 + 35) / 100 = 0,75. Il primo clinico dice «sì» il 50% delle volte (40 + 10), il secondo il 55% (40 + 15), quindi pₑ = 0,50 × 0,55 + 0,50 × 0,45 = 0,275 + 0,225 = 0,50. Allora κ = (0,75 − 0,50) / (1 − 0,50) = 0,50. Un accordo osservato del 75% corrisponde a un kappa di 0,50, cioè a metà strada tra il caso e l'accordo perfetto.

[FORMULA]

N = Σ(k = 5…9) C(9, k) − Σ(k = 5…7) C(7, k)

Dove:

• N è il numero di combinazioni di criteri che soddisfano la regola;

• C(n, k) (coefficiente binomiale) è il numero di modi di scegliere k elementi tra n senza considerare l'ordine, uguale al prodotto n × (n − 1) × … × (n − k + 1) diviso il prodotto k × (k − 1) × … × 1 (per esempio C(9, 5) = (9 × 8 × 7 × 6 × 5) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1) = 126);

• la prima somma conta i modi di scegliere da cinque a nove criteri tra i nove disponibili;

• la seconda somma conta i modi di scegliere da cinque a sette criteri tra i soli sette che non sono i due principali: sono le combinazioni da escludere, perché non contengono né l'umore depresso né la perdita di interesse.

Esempio di calcolo. Prima somma: C(9,5) + C(9,6) + C(9,7) + C(9,8) + C(9,9) = 126 + 84 + 36 + 9 + 1 = 256. Seconda somma: C(7,5) + C(7,6) + C(7,7) = 21 + 7 + 1 = 29. Quindi N = 256 − 29 = 227. Considerando che alcuni criteri sono doppi (insonnia o ipersonnia, agitazione o rallentamento), le combinazioni distinte sono ancora di più.

[FORMULA]

Rischio relativo: RR = R_esposti / R_non esposti

Rischio atteso con due fattori indipendenti: R_atteso = R₀ × RR_A × RR_B

Dove:

• R_esposti e R_non esposti sono le proporzioni di persone che sviluppano il disturbo tra chi ha il fattore e chi non lo ha;

• RR (rischio relativo) dice di quante volte il fattore moltiplica il rischio (vale 1 se non lo cambia);

• R₀ è il rischio di chi non ha nessuno dei due fattori;

• RR_A e RR_B sono i rischi relativi dei due fattori valutati da soli;

• R_atteso è il rischio che si osserverebbe per chi ha entrambi se i due fattori agissero in modo indipendente, moltiplicando ciascuno per conto suo.

Esempio di calcolo (valori inventati per illustrare). Il rischio di chi non ha né vulnerabilità né stress è R₀ = 5%. Con la sola vulnerabilità è 6% (RR_A = 6 / 5 = 1,2), con il solo stress 10% (RR_B = 10 / 5 = 2,0). Se agissero in modo indipendente, chi ha entrambi avrebbe R_atteso = 5% × 1,2 × 2,0 = 12%. Se nei dati si osserva 30%, la combinazione pesa molto più della somma delle parti: c'è un'interazione. Lo stesso vale con un calcolo additivo (5% + 1 punto + 5 punti = 11%, contro il 30% osservato). La domanda empirica è sempre se i dati reali mostrino una discrepanza di questo tipo e se sia replicabile.

[FORMULA]

NNT = 1 / (R_trattamento − R_controllo)

Dove:

• NNT è il numero di persone da trattare perché, in media, una in più ottenga l'esito favorevole rispetto a quanto accadrebbe senza il trattamento;

• R_trattamento è la proporzione di persone con l'esito favorevole (per esempio una riduzione di almeno metà dei sintomi) nel gruppo trattato;

• R_controllo è la stessa proporzione nel gruppo di controllo;

• la differenza R_trattamento − R_controllo è la riduzione assoluta del rischio, o beneficio assoluto.

Esempio di calcolo. Se risponde il 50% dei trattati e il 30% dei controlli, la differenza è 0,50 − 0,30 = 0,20, e NNT = 1 / 0,20 = 5. Occorre trattare cinque persone perché una in più risponda. Non significa che una persona su cinque si giovi del trattamento e le altre no: su dieci persone trattate ne rispondono cinque, di cui tre avrebbero risposto comunque (come il 30% dei controlli) e due rispondono grazie al trattamento, mentre le altre cinque non rispondono nonostante il trattamento; due risposte in più ogni dieci trattati equivalgono a una ogni cinque. Il valore dipende da come si definisce la «risposta» e dal rischio di partenza, e cambia con la soglia scelta.

[FORMULA]

N = 1.000 / p

Dove:

• p è la prevalenza espressa come numero di casi ogni 1.000 bambini;

• N è il numero di bambini tra i quali ci si aspetta, in media, un caso (si dice «uno su N»);

• il rapporto tra due prevalenze, p₂ / p₁, dice di quante volte è cresciuta (o ridotta) la frequenza da una misura all'altra;

• lo stesso rapporto tra le prevalenze di due gruppi (per esempio maschi e femmine) è il rapporto di prevalenza.

Esempio di calcolo. Nel 2022 la prevalenza pubblicata è p = 32,2 per 1.000: N = 1.000 / 32,2 ≈ 31, cioè «uno su 31». «Uno su 150» (anno 2000) corrisponde a p = 1.000 / 150 ≈ 6,7 per 1.000. L'aumento tra le due misure è 32,2 / 6,7 ≈ 4,8: la prevalenza documentata è quasi quintuplicata. Tra le stesse comunità che parteciparono sia alla rilevazione del 2020 sia a quella del 2022 l'aumento fu del 22%. Il rapporto tra i sessi è 49,2 / 14,3 ≈ 3,4 maschi per ogni femmina.

[FORMULA]

d′ = z(C) − z(F) e c = −[z(C) + z(F)] / 2

Dove:

• d′ (d primo) è la sensibilità: quanto bene la persona distingue la presenza dall'assenza dello stimolo; vale 0 se non distingue nulla e cresce con la capacità di discriminare (è senza unità, perché misurata in deviazioni standard);

• C è la proporzione di colpi (risposte «sì» quando lo stimolo c'era) e F la proporzione di falsi allarmi (risposte «sì» quando non c'era);

• z( ) è la trasformazione che converte una proporzione nel corrispondente valore sulla curva normale standard (per esempio z(0,50) = 0, z(0,84) ≈ 1);

• c è la posizione del criterio: vale 0 se la persona è equidistante tra «sì» e «no», è negativa se tende a dire «sì» anche con poca evidenza (criterio liberale) e positiva se tende a dire «no» (criterio prudente).

Esempio di calcolo. Prima persona: C = 0,80 e F = 0,20, quindi z(0,80) ≈ 0,84 e z(0,20) ≈ −0,84; d′ = 0,84 − (−0,84) = 1,68 e c = −(0,84 − 0,84) / 2 = 0. Seconda persona: C = 0,92 e F = 0,39, quindi z(0,92) ≈ 1,41 e z(0,39) ≈ −0,28; d′ = 1,41 − (−0,28) ≈ 1,69 (1,68 con i valori non arrotondati) e c = −(1,41 − 0,28) / 2 ≈ −0,56. Una terza persona con C = 0,62 e F = 0,08 (z ≈ 0,31 e −1,41) ha d′ ≈ 1,7 e c ≈ +0,55. Le tre persone vedono altrettanto bene (d′ circa 1,7); differiscono soltanto per prudenza: la seconda risponde «sì» con facilità, la terza con riluttanza.